V. Incomplétude & Théories

Introduction :

Un des outils fondamentaux du raisonnement scientifique et du principe de vérifiabilité est sans conteste la branche des mathématiques. Puisque c'est par ce biais que la construction de raisonnements rigoureusement vérifiables devient possible. Par le langage des mathématique et la syntaxe logique qui en émane, il devient possible de déveloper et construire des modèles réfutables qui permettent une confrontation à l'expérimentation... Mais, les mathématiques permettent-elles de construire une theorie ou un modèle complet, donc absolu ?

Dans le cadre de notre sujet d'étude et de notre moratoire au convaiquisme, rappelons ce que le Coran dit à propos de la réfutation de son propre contenu.

"Ils accusent de mensonge ce qu’ils sont incapables d’embrasser avec leur science... [1]" 

(Cor. 10,39-40)

B. Le théorème d'Incomplétude de Gödel :

Comme cela a été mathématiquement démontré par le logicien Kurt Gödel dans son théorème d'incomplétude, toute théorie est définitivement condamnée à demeurer incomplète et contradictoire, ne pouvant se démontrer par elle-même (second théorème).

B-1. Premier T.héorème :

Dans n'importe quelle théorie récursivement axiomatisable, cohérente et capable de  formaliser l'arithmétique, on peut construire un énoncé arithmétique qui ne peut être ni prouvé ni réfuté dans cette théorie.

□De tels énoncés sont dits indécidables dans ladite théorie. On dit également  qu'ils sont indépendants de la théorie.

B-2. Second Théorème :

Si T est une théorie cohérente qui satisfait des hypothèses analogues, la cohérence de T, qui peut s'exprimer dans la théorie T, n'est pas démontrable dans T.

□Par ce théorème, dont nous commençons à entrevoir l'importance capitale en philosophie des sciences, Gödel a en fait démontré que toute théorie fondée dans le cadre de démonstrations mathématisables, est condamnée à demeurer strictement incomplète. Puisqu'il existera toujours des axiomes fondateurs que la théorie ne pourra pas démontrer, en dépendant elle-même. Même si ces axiomes se fondaient sur d'autres axiomes, également à démontrer et ce à l'infini.

C. Modèle mathématique non standard et limites de décidabilité :

Sans prétendre pouvoir établir la complétude en mathématiques, nous allons partager dans le présent article une approche non standard, cherchant à repousser un peu les limites des mathématiques.

C-1. Nombres absolus :

ℕ ⊆ ℝ ⊆ A

Si je pose que 1.∞ = 1∞ ou 2.∞ = 2∞

1∞ ≼ 2∞
2∞ : 1∞ = 2∞
2∞ . 1∞ = 2∞²

m∞ : n∞ = m/n∞
m∞ . n∞ = (m.n)∞2

⇒ Je peux convenir que tout infini est mathématisable, à la condition que je puisse lui définir une limite. 

⇒ Posons donc que quand je réalise une opération arithmétique sur un infini, je lui affère une limite.

Ainsi, ∞ - 1 ≼ ∞ ; puisque l'infini est précisément défini comme lui-même. Sauf si je choisis de préciser mon infini de l'égalité en écrivant suivant la syntaxe infra :

n.∞ = ∞.n

n : ∞ = 0_(n)

∞ : n = _n∞

n^∞

∞ⁿ

racine infinie de n = ^∞n = 0_(n)

racine n de ∞ = ⁿ∞

 exposantⁿracine 

 diviseur_nmultiplicateur 

□Je peux ainsi travailler avec des infinis marqués en indice comme avec des nombres finis et en notifier l'origine. En sorte que je peux donc organiser les infinis dans un système ordonné absolu.

La notion d'infini est relative, il existe des infinis plus grands ou plus petits les uns des autres. Il est donc permis d'organiser l'infini au sens nu et pur en le limitant par des opérations arithmétiques en sorte de les organiser dans un seul ensemble absolu A de façon ordonnée. L'ensemble A n'ayant pas de borne, en sorte que la seule opération arithmétique permise sur lui soit la soustraction.

□Une conséquence de cette approche non standard des mathématiques est que nous arrivons à la conclusion suivante :

∞ ≼ ∞ + 1

∞ ≽ ∞ - 1

⇒ Lorsque nous écrivons ∞, nous traitons donc de 1∞, en sorte qu'il n'existe pas un signe permettant d'écrire la notion d'absolu sans dimension ni borne, auquel nous ne pouvons ajouter aucun nouvel élément, choisisson donc de l'écrire ﻫـ. Aucune opération ne pouvant être réalisée sur ﻫـ, hormis la soustraction, car il ne peut exister de nombre plus grand que ﻫـ, ni de milieu permettant de diviser ﻫـ, ou en déduire une racine etc. 

⇒ Nous pouvons nous représenter ﻫـ comme un espace sans borne et l'ensemble de tous les points qui peuvent y être placées. Comme aucun point ne peut être placé en dehors de ﻫـ, on ne peut donc rien y ajouter en plus de son contenu absolu.

⇒ Il devient possible de représenter l'ensemble ℕ par ∞, et l'ensemble ℤ par 2.∞, ℝ par ∞^∞. Étant donné que la série entière de ℤ peut être strictement intercalée avant tous les éléments de ℝ pris un à un, avant les virgules. Tel que si ℤ est représenté par un segment de droite de longueur L, ℝ soit représenté géométriquement par cube. Enfin ℂ peut être à son tour représenté par ∞ⁿ.

Si en abscisse, nous représentons l'ensemble des nombre entiers relatifs, (en rouge), nous pouvons représenter en ordonnée, respectivement au-dessus de zéro à droite et en dessous de zéro à gauche les nombres réels associés à chacun de ces nombres pris un à un.

⇒ On peut se faire la remarque que L est de longueur variable, alors que les ensembles sont censés être fixes. Or, l'isomorphisme des ensembles ainsi représentés géométriquement, se retrouve dans la possibilité d'effectuer des opérations arithmétiques sur ∞ tel que : ∞.1, ∞.2, etc. Nous verrons cet isomorphisme apparaître également dans U plus loin.

⇒ Une des conséquences de cette approche mathématique est que nous obtenons une seule et unique solution (décidabilité) pour ∞_m ÷ ∞_n. ce qui doit être = m/n. Comme ∞ = ∞, puisque si je n'ai réalisé aucune opération sur ∞, il doit avoir exactement sa valeur nue, alors ça doit valoir 1 par défaut. La symétrie est rétablie dans les opérations arithmétiques et deviennent réversible. 

C-2. Nombres Ultraréels :

Pour ; R[X]

i=max (n,k); P(X) < > Q(X) ;

P(X)=a_0+a_1X+...+a_nXⁿ > Q(X) = b_0 + b_1X +...+ b_kX^k ssi

 a_0 > b_0 si a_0 = b_0 alors a_1 > b_1 si a_1 = b_1 alors ... a_i > b_i.

⇒ X ≡ ε, et Xⁿ < X ↪ Xⁿ ≡ ε_n

∴ ε_n ≅ ε

Si je pose que entre les décimales 0,1 et 0,2 et en me limitant à un seul chiffre après la virgule je peux intercaler également dix nombre encore plus petit en écrivant :

0,100,0
0,100,1
0,100,2
0,100,3
...
0,100,9
0,200,0

□ De sorte que 0,1 soit égal à 0,1000...

En choisissant de poser une seconde virgule entre mon décimal et son "sous-décimal", je parviens à intercaler entre 1 et 0,99999... un infinitésimal qui permet de distinguer les deux.

Représentation de nombres surréels avec des nombres infinitésimaux transfinis. La récurrence est transfinie. Un système imaginé par John Conway.

Ainsi je peux écrire :

0,9999... + (0,0000...,1)*10 = 1

ou 

0,99 + (0,00,1)*10 = 1

De même, je peux ainsi multiplier à l'infini mes virgules et créer une infinité de nombres infinitésimaux non nuls séparant 0,9999... de 1. Ainsi je peux réunir le continu et le discret en choisissant d'écrire mes nombres différemment.

Pour 0,1100,0 - 0,00,1 par exemple, on obtient une solution rationnelle mais il faut déterminer comment l'écrire, par exemple comme suit :

0,1099,9

□J'ai ainsi créé un nouveau rang intercalaire, car je sais qu'il faut intercaler un nombre encore plus fin et ou l'intercaler. Je dois juste choisir comment l'écrire.

Je sais résoudre avec cette écriture par exemple la soustraction suivante :

0,100,0 - 0,00,1 = 0,099,9


Ou plus corsé,

0,1100,0 - 0,00,11 = 0,1099,89

0,0900,11 - 0,100,12 = - 0,0100,01

etc.

L'originalité de cette écriture à virgules est de pousser les frontières du calculable à l'infini et de résoudre des indécidabilités que nous retrouvons dans le cadre standard des mathématiques.

C-3. Implication géométrique, injection, commutation, discret et continu :

L'implication de la calculabilité des infinis et infinitésimaux dans un système continu, est que nous obtenons une structure permettant de produire algébriquement une topologie fractale. En effet, quoi que je puisse par exemple écrire :

1/∞ = (0,0,1)*10

ou

 1/∞ /∞  = (0,0,0,1)*10

Une extension étonnante de cette écriture est que même les unités deviennent différenciables. Puisque je peut travailler comme suit :

0 . 0 = 0₀          0 : 0 = ₀0
0 . 1 = 0₁          0 : 1 = ₁0

...

1 . 0 = 0₁         1 : 0 = ₀1= ∞₍₁₎

                         n : 0 = n₀ = ∞_(n)

1 . 1 = 1²          1 : 1 = ₁1

1 . 1 . 1 = 1³     1 : 1 : 1 = ₃1

2 . 1 = 2₁          2 : 1 = ₁2


□Toute opération algébrique sur un nombre fini ou infini la transforme en un nombre différencié et distinct. Ainsi, toute équation acquière une identité unique, et il faut retenir l'origine d'un nombre habillé pour le différencier d'un nombre nu. Les mathématiques standard ignorent cette subtilité et conduisent à une inconsistance apparente.

□Je peux avec cette écriture, de même organiser absolument tous les nombres entier naturels, réels, surréels ou même complexes dans un continuum, comme des points intercalés dans un espace topologique fractal et lier discret et continu.

□Une des conséquences de cette approche non standard des mathématiques, est que nous pouvons concevoir une quantité illimitée de nombres avec une infinité de virgules. Or, je peux décréter qu'il doit exister une ultime borne à l'ensemble des ultraréels dont il ne doit y avoir aucun élément plus petit hormis 0. Choisissons de l'écrire ي. Tel que ي soit le plus petit des nombres existants dont rien n'est plus petit. ي étant l'équivalant arithmétique exact d'un point unique. Dans U, choisissons de l'écrire ainsi : 0,0,0,001|. De telle sorte que 1 puisse exister dans un cadre consistant. 



C-4. Un cas de solution intéressant dans le cadre de A, la série de Grandi :

 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + … 

La suite est divergente, or :

(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + … = 0 + 0 + 0 + … = 0

O - 1 = ( -1 + 1) + (-1 + 1) + ... = -1

1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + … = 1 + 0 + 0 + 0 + … = 1

Cela parait induire une inconsistance et un paradoxe induisant que :

0 = -1 = 1


Or, dans U, nous parvenons à rétablir de l'ordre, puisque :

(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + … = 0 + 0 + 0 + … = 0∞

Or :

0∞ ≽ 0

On aboutit de même à une autre égalité dans U :

1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + … = 1 + 0 + 0 + 0 + … = _∞1

□Je sais intuitivement qu'en réalité j'ai isolé un élément à la série infinie de grandi, pour créer une autre suite infinie réduite d'un élément.

0∞ ≼  _∞1

⇒ _∞1 = 0,001 or 0∞ = 0,00

Sachant que :

0∞ − 1 ≼  0∞ ≼  _∞1

0∞ − 1 = -1,00

_∞1 = 0,001 

□Je sais en effet, que ma série de Grandi à une limite à l'infini, et il s'agit donc de réductions sur l'infini de ma suite. Car en effectuant des opérations sur la suite infinie, j'en définis la topologie selon mes opération arithmétiques.

□ En effet, je sais intuitivement que le "1" que j'ai isolé de la suite est une sous unité parmi une infinité de "1" potentiels imbriqués dans la suite de Grandi aboutissant à "0" quand ils sont additionnés par des combinaisons ad hoc. Ces operations attribuent une limite à ma série infinie et donc permet de travailler dessus dans A et dans U. 

□Je me rend compte que j'ai donc trouvé en réalité : 1/∞, et non 1. Ou bien 1 - 0,99, soit (0,00,1)*10.

□ Une symétrie nouvelle émerge ainsi au sein de U, qui permet d'éviter une incohérence fondamentale. 

◇

Rmq. Un détail qui est négligé dans l'analyse de la série de Grandi est qu'en imposant une suite périodique infinie de parenthèses, nous incorporons au sein de la série une structure périodique qui n'existe pas initialement. Ainsi, nous incluons nous-mêmes une périodicité qui induit une topologie et une structure inexistante dans la série de Grandi sous sa forme nue. Or, il apparaît que la série converge à mi-distance entre 1 et 0, à savoir 1/2, comme si elle oscillait dans [1,0]. Comme cela a été démontré par divers moyens. Nous retrouvons par un autre biais, les combinaisons, la transformation de la longueur de la série infinie de Grandi.

En effet, en exigeant de combiner les éléments de la série de Grandi par couples de (1-1), j'introduis une périodicité absente initialement. Tandis qu'en en excluant un élément je travailles sur une version réduite de ma série ainsi transformée. Donc, sur un autre infini qui est une variété nouvelle de la série de Grandi. La série sous sa forme nue n'est pas décidable, mais ses versions habillées conduisent à des solutions inéquivoques.

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[1] Traduction selon Albert Kazimirski de Biberstein : 1808-1887.

[2] A ne pas confondre avec les nombres hyperréels ou surréels, qui ne permettent pas d'application pratique faute d'une syntaxe appropriée.